本文原载于微信公众号"小朱的读书笔记"，作者：`陈跃`. ------------ 在学习过微积分的过程中，我们都知道：可以求出所有的初等函数的导数，但是反过来进行逆运算——积分的时候，却不可能求出所有初等函数的积分(或原函数)。数学家斯皮瓦克(M. Spivak)在其撰写的极其优秀的教材《微积分》（[1]）的末尾曾经这样写道：“用初等函数表示某些函数的积分的不可能性，乃是数学中最秘密的课题之一。”近现代数学发展的历史表明，对这个“最秘密”课题的深入探究最终将人们引向了以现代数论和代数几何为代表的一大批现代数学的优美理论。然而，所有这一切都极其复杂，无法跟学生讲明白。因此数学教师们在讲解积分这部分内容的时候，一般都会小心地避开那些所谓“积不出来”的积分，而当人们在科学技术中真正需要实际计算那些求不出原函数的定积分的值时，就运用一些专门的数值方法。 例如在计算像椭圆这样一些常用曲线的弧长时，17世纪的数学家们就遇到了这种积不出来的积分。假设一个椭圆的方程可写成如下参数方程的形式： $$x=acos\theta,y=bsin\theta(b>a)，$$ 则弧长微分的平方$ds^{2}=(a^{2}sin^{2}\theta+b^{2}cos^{2}\theta)d\theta^{2}$，所以对这个椭圆的参数$\theta$从0到$\alpha$的弧长为 $$ L_{1}=\int_{0}^{\alpha}\sqrt{a^{2}sin^{2}\theta+b^{2}cos^{2}\theta}d\theta=b\int_{0}^{\alpha}\sqrt{1-k^{2}sin^{2}\theta}d\theta,$$ 其中的$k^{2}=1-(\frac{a}{b})^{2}$。这个不可能有初等函数原函数的积分就是人们最早遇到的“椭圆积分”。如果再对它作换元变换$\theta=srcsint$,则可以将这个积分写成 $$L_{1}=b\int_{0}^{sin \alpha}\sqrt{\frac{1-k^{2}t^{2}}{1-t^{2}}}dt=b\int_{0}^{sin \alpha}\frac{1-k^{2}t^{2}}{\sqrt{1-t^{2}}\sqrt{1-k^{2}t^{2}}}dt \tag{1}$$ 的形式。数学家们想尽了各种方法，都无法像通常的积分那样积出这个积分，也就是不能用初等函数来表示这个积分中被积函数的原函数。 又例如人们在计算双纽线的弧长时也遇到了这种类型的积分。由伯努力(J.Bernoulli) 发现的双纽线是平面上到两个定点$(-a,0)$和$(a,0)$的距离之积等于常数$a^{2}$的点轨迹，它的图形像一个横着写的8，  容易推得它的极坐标方程为$r^{2}=2a^{2}cos2\theta$,再由曲线弧长公式 $$\int_{0}^{\alpha}\sqrt{r^{2}+(\frac{dr}{d\theta})^{2}}d\theta,$$ 可以得到双纽线的弧长为$$L_{2}=\sqrt{2}a \int_{0}^{\alpha}\frac{d\theta}{\sqrt{1-2sin^{2}\theta}},$$ 这又是一个椭圆积分(尽管此时已经与椭圆无关)，如果在右边积分中作变换$u=tan\theta$,则有$sin^{2}\theta=\frac{u^{2}}{1+u^{2}}$,$d\theta=\frac{du}{1+u^{2}}$,从而得到 $$L_{2}=\sqrt{2}a\int_{0}^{x}\frac{du}{1-u^{4}},$$ 其中$x=tan\alpha$. 1.椭圆积分及其加法公式 - 所谓椭圆积分，是指如下形式的积分 $$\int_{\alpha}^{\beta}\frac{\gamma(t)}{\sqrt{p(t)}} dt,(3)$$ 其中的$\gamma(t)$是有理函数，$p(t)$为3次或4次多项式。上面的积分(1)和(2)都属于椭圆积分。在历史上，“椭圆积分”这个名称就是从上述求椭圆曲线、双纽线等曲线的弧长问题时所产生的积分(1)和(2)而来的。可以证明，椭圆积分的被积函数分母根号中的4次多项式可以经过适当的换元变成3次多项式的形式，反过来，3次多项式也可以变成4次多项式的形式（见[2]）。从18世纪初开始，以法尼亚诺(G.F.Fagnano)、欧拉(L.Euler)和勒让德(A.M.Legendre)为代表一批数学家对令人困惑的椭圆积分进行了初步的研究，找到了一些不同寻常的性质。 1718年，意大利数学家法尼亚诺在首先研究了双纽线的弧长积分(2)的性质。他的推导大致如下：首先对积分(2)先进行换元变换 $$v^{2}=\frac{2u^{2}}{1-u^{4}},$$ 对这个换元变换式的两边关于变量$u$求导(将$v$看成是$u$的函数)，可以得到微元$du$与$dv$之间的关系，从而得到等式 $$\int_{0}^{x}\frac{\sqrt{2}du}{\sqrt{1-u^{4}}}$$ 再用同样的方法，对上式右边的积分继续作另一换元变换 $$t^{2}=\frac{2v^{2}}{1+v^{4}},$$ 可得 $$\int_{0}^{\frac{\sqrt{2}x}{\sqrt{1-x^{4}}}}\frac{dv}{\sqrt{1+v^{4}}}=\frac{1}{\sqrt{2}}\int_{0}^{\frac{2x\sqrt{1-x^{4}}}{1+x^{4}}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}},(5)$$ 现在合并(4)与(5)式，就可以得到法尼亚诺所发现的关于双纽线弧长的加倍公式 $$2\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\int_{0}^{\frac{2x\sqrt{1-x^{4}}}{1+x^{4}}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}.(6)$$ 虽然还没有积出这个积分，但是这个给出了双纽线弧长两倍的重要等式很快引起了大数学家欧拉的注意。他在1753年进一步推广得到了双纽线弧长积分的新公式： $$\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}+\int_{0}^{y}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\int_{0}^{\frac{x\sqrt{1-y^{4}}+y\sqrt{1-x^{4}}}{1+x^{2}y^{2}}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}.(7)$$ 我们看到，双纽线的弧长加倍公式(6)正是这个加法公式(7)当$x=y$时的特殊情形。这个重要的公式之所以被称为椭圆积分(2)的“加法公式”，是因为它类似于三角函数中关于反正弦函数的加法公式 $$\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}+\int_{0}^{y}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{4}}}=\int_{0}^{x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}}}\frac{dt}{\sqrt{1-t^{2}}}.$$ 上式即是我们所熟悉的三角公式 $$arcsinx +arcsiny =arcsin(x\sqrt{1-y^{2}}+y\sqrt{1-x^{2}})$$ 的积分表示形式。 加法公式(7)的证明也是运用了换元法，只是此时的换元计算比较复杂而已。由于受到双纽线弧长加倍公式(6)的右边积分上限 $$\frac{2x\sqrt{1-x^{4}}}{1+x^{4}}$$ 的启发，对于积分(2)，考虑$u$和$v$之间的换元变换式 $$\frac{u\sqrt{1-v^{4}}+v\sqrt{1-u^{4}}}{1+u^{2}v^{2}}=r,(8)$$ 其中的$r$是常数。为了寻找出微元$du$与$dv$之间的关系，引入中间变量$U=\sqrt{1-u^{4}}$和$V=\sqrt{1-v^{4}}$,(8)式就变成了 $$\frac{uU+vV}{1+u^{2}v^{2}}=r,$$ 将$v$看成是$u$的函数，对这个式子的两边关于$u$求导，在进行了一番仔细的运算之后(你可以把它当成是一次很好的微积分练习)，最终可以推导出以下的等式： $$(\frac{du}{U}+\frac{dv}{V})[UV(1-u^{2}v^{2})-2uv(u^{2}+v^{2})]=0.$$ 从(8)知道当$u=0$时 ，此时上式方括号里的 $$UV(1-u^{2}v^{2})-2uv(u^{2}+v^{2})=\sqrt{1-r^{4}},$$ 所以当$r$与$u$充分靠近0时，$UV(1-u^{2}v^{2})-2uv(u^{2}+v^{2})$ 不为0.因此从(9)式可知 $$\frac{du}{\sqrt{1-u^{4}}}+\frac{dv}{\sqrt{1-v^{4}}}=0.$$ 设在此换元变换中，积分(2)的上限$x$对应于$y$，而0又对应了$r$，所以由上式可得 $$\int_{0}^{x}\frac{du}{\sqrt{1-u^{4}}}=-\int_{r}^{y}\frac{dv}{\sqrt{1-v^{4}}}=-\int_{r}^{0}\frac{dv}{\sqrt{1-v^{4}}}-\int_{0}^{y}\frac{dv}{\sqrt{1-v^{4}}}.$$ 最后再由(8)式中的等量关系知道，此时的 $$r=\frac{x\sqrt{1-y^{4}}+y\sqrt{1-x^{4}}}{1+x^{2}y^{2}},$$ 从而就得到了加法公式(7)。 欧拉不仅像这样证明了加法公式(7)，还对更一般的椭圆积分推导出了加法公式： $$\int_{0}^{x}\frac{dt}{\sqrt{1+at^{2}-t^{4}}}+\int_{0}^{y}\frac{dt}{\sqrt{1+at^{2}-t^{4}}}=\int_{0}^{\frac{x\sqrt{1+at^{2}-y^{4}}+y\sqrt{1+at^{2}-x^{4}}}{1+x^{2}y^{2}}}\frac{dt}{\sqrt{1+at^{2}-t^{4}}}. （10）$$ 他甚至还想把上式中根号内的多项式次数提高到5和6次的情形，但他发现此时这样的等式不会成立。 18世纪末的数学家勒让得在欧拉研究的基础上，比较系统地研究了椭圆积分。他在这方面的主要功绩是得到了椭圆积分的三种标准形式，使得其他所有各种椭圆积分都可以通过积分的换元变换化成这三种标准的形式。这样，就像其他的一些常见特殊函数一样，人们能够制作出专门的数学用表来，供需要实际计算椭圆积分的人们查阅。 然而，数学家们是不会满足于仅仅求出定积分值的，他们希望能够找出隐藏在椭圆积分加法公式背后的东西。 2.阿贝尔积分 - 阿贝尔(N.H.Abel)是一位生活于19世纪初期的挪威数学家。他在欧拉研究椭圆积分的基础上，朝着现代的代数曲线与黎曼曲面理论的方向，向前跨出了一大步。阿贝尔的重要思想是所谓的“阿贝尔和”的想法，也就是将前述的椭圆积分加法公式中“积分的和”的现象提炼出来，考虑能否用到若干个同类阿贝尔积分的和上。所谓阿贝尔积分，是比椭圆积分更广的一类积分 $$\int_{z_{0}}^{z}R(x,y) dx,\tag{11}$$ 其中的$R(x,y)$是有理函数，并且$y=y(x)$是代数函数，即满足以下不可约代数方程 $$f(x,y)=y^{n}+f_{1}(x)y^{n-1}+\cdots+f_{n}(x)=0$$ 的函数,这里的各个函数$f_{i}(x)$是$x$的多项式。由于椭圆积分(3)可以写成$\int_{\beta}^{\alpha}\frac{r(x)}{y}dx$ （其中$y^{2}=p(x)$）的形式，所以说阿贝尔积分包含了椭圆积分。 上述方程(12)所表示的曲线被称为代数曲线。阿贝尔在1826年的一篇论文中考虑了(12)中的代数曲线$f(x,y)=0$与另一条变动的代数曲线$h(x,y)=0$相交的情形，这里的$h(x,y)$是依赖于某些变动参数的多项式。如果记这两条代数曲线所有的交点为$(x_{1},y_{1}$),$\cdots$,$(x_{k},y_{k})$,并且将阿贝尔积分(11)记为$\psi(z)$，那么阿贝尔证明的“阿贝尔定理”是说： $$\psi(x_{1})+\psi(x_{2})+\cdots+\psi(x_{k})=v,$$ 其中$v$是$x_{1},\cdots,x_{k}$的初等函数。可以证明，当阿贝尔积分中的被积函数处处取有限值时(例如椭圆积分就是这种情形)，上式中的初等函数$v$是一个常数。 下面我们用经典的阿贝尔定理来推导出欧拉的椭圆积分加法公式(10)，以说明阿贝尔定理其实是椭圆积分加法公式的推广。对欧拉的椭圆积分 $$\int_{0}^{z}\frac{ dx }{y}$$(其中$f(x,y)=y^{2}-(1+ax^{2}-x^{4})$ ) 来说，考虑一组变动的“抛物线” $$h(x,y)=y-(1+px+qx^{2})，$$ 它们都经过了点(0,1)。此时，将$f(x,y)=0$ 与$h(x,y)=0$ 的四个交点的“横坐标”分别记为$x_{i}(i=1,2,3,4)$，它们都是方程 $$(1+q^{2})x^{4}+2pqx^{3}+(p^{2}+2q-a)x^{2}+2px=0$$ 的根。去掉其中的一个零根$x_{4}=0$，其他的三个根是方程 $$(1+q^{2})x^{3}+2pqx^{2}+(p^{2}+2q-a)x+2p=0$$ 的根,因此有 $$x_{1}+x_{2}+x_{3}=-\frac{2pq}{1+q^{2}},x_{1}x_{2}x_{3}=-\frac{2p}{1+q^{2}},$$ 从而得到$(x_{1}+x_{2}+x_{3})-qx_{1}x_{2}x_{3}=0$，即有 $$x_{3}=\frac{x_{1}+x_{2}}{qx_{1}x_{2}-1}.$$ 再记$f(x,y)=0$ 与$h(x,y)=0$ 的四个交点的“纵坐标”分别记为$y_{i}(i=1,2,3,4)$,则由$y_{i}=1+px_{i}+qx_{i}^{2}$可以得到 $$x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}=-(qx_{1}x_{2}-1)(x_{1}-x_{2}), $$ 因此由(15)式可得 $$x_{3}=-\frac{x_{1}^{2}-x_{2}^{2}}{x_{1}y_{2}-x_{2}y_{1}}.$$ 再由$y_{i}^{2}=1+ax_{i}^{2}-x_{i}^{4}$得到 $$x_{1}^{2}y_{2}^{2}-x_{2}^{2}y_{1}^{2}=(x_{1}^{2}-x_{2}^{2})(1+x_{1}^{2}x_{2}^{2}).$$ 将左边因式分解后代入上式，得到 $$x_{3}=-\frac{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{1+x_{1}^{2}x_{2}^{2}}.\tag{16}$$ 现在将阿贝尔定理(13)应用于这个椭圆积分，就可以得到 $$\int_{0}^{x_{1}}\frac{dx}{\sqrt{1+ax^{2}-x^{4}}}+\int_{0}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{1+ax^{2}-x^{4}}}+\int_{0}^{x_{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+ax^{2}-x^{4}}}= 常数.\tag{17}$$ 为了确定上式右边的这个常数，我们在曲线$h(x,y)=0$中取 $$p=0,q=\frac{a}{2},$$ 此时方程(14)就变成了 $$(1+\frac{a^{2}}{4})x^{3}=0,$$ 所以$x_{1}=x_{2}=x_{3}=0$,从而这个常数为0。最后再将(17)式左边第三个积分的积分变量从$x$变成$-x$，结合(16)式就得到了 $$\int_{0}^{x_{1}}\frac{dx}{\sqrt{1+ax^{2}-x^{4}}}+\int_{0}^{x_{2}}\frac{dx}{\sqrt{1+ax^{2}-x^{4}}}+\int_{0}^{-x_{3}}\frac{dx}{\sqrt{1+ax^{2}-x^{4}}}=\int_{0}^{\frac{x_{1}y_{2}+x_{2}y_{1}}{1+x_{1}^{2}x_{2}^{2}}}\frac{dx}{\sqrt{1+ax^{2}-x^{4}}}$$ 这实际上就是椭圆积分加法公式(10)。就这样，阿贝尔将欧拉的椭圆积分加法公式作了最大限度的推广。 3.后续的发展 - 阿贝尔的另一个重要思想是反演，也就是求出椭圆积分所定义的函数的反函数来。例如在椭圆积分 $$ u=\psi(x)=\int_{x_{0}}^{x}\frac{dt}{\sqrt{p(t)}}(其中p(t)为次数3的多项式)$$ 中,可以考虑其反函数$x=\varphi(u)$，它被称为椭圆函数。阿贝尔发现椭圆函数具有很好的性质。 阿贝尔所处的时代，正是复变函数理论诞生的年代。复变函数论被数学史家M.克莱因(M.Kline)称为是19世纪最独特的创造，他说：“这一最丰饶的数学分支，曾被称为这个世纪的数学享受，它也曾被欢呼为抽象科学中最和谐的理论之一。”复变函数的微分与积分理论其实是18世纪发展起来的微积分理论的自然延伸。在19世纪初，柯西在研究计算二重积分的累次积分方法时，无意中发现了复变函数论中著名的柯西积分定理——全纯(解析)函数在单连通区域边界上的复积分总是为零，由此便得到了关于复积分和留数计算等一系列基本结果。人们发现，只有将实积分变成复积分，椭圆积分以及更一般的阿贝尔积分的性质才有可能得到完整的描述，所以从19世纪起，这些积分都是作为复积分来研究的。 当人们把上述（18）式中的实积分看成复积分时，就可以引入由黎曼创造的黎曼曲面理论的观点，此时椭圆函数也成为了复变函数。在历史上从几何的角度来研究阿贝尔积分，首先是从黎曼开始的，他在1851年的一篇关于复变函数的奠基性论文中首次给出了黎曼曲面的概念。他认为复变函数不应只是定义在通常平直的(高斯)复平面上，而是应该定义在可以“拓展到许多叶”的曲面上。为此黎曼为每一个多值复变代数函数(它由椭圆积分中被积函数相关的代数曲线来确定)，都构造了一个曲面，用以代替通常的复平面，使得在这个新曲面上，原来多值的代数函数变成了容易处理的单值函数，这个曲面就是著名的黎曼曲面。（详见Stillwell的《数学及其历史》[2]）。而对任何一个紧致黎曼曲面来说，都可以找到一个具有若干个“孔”的闭曲面模型：  这些孔的个数被称为黎曼曲面的亏格，它是刻画黎曼曲面拓扑性质的主要不变量。 从黎曼曲面的角度，可以理解在微积分中为什么有的积分可以积出来，而有的却不能，这个关键的原因就在于和积分相关的黎曼曲面的亏格是什么。例如我们知道实积分 $\int \frac{dt}{\sqrt{x^{2}+ax+b}}$是一个可以积得出来的积分，这可以从相应的复积分$\int \frac{dz}{\sqrt{z^{2}+az+b}}$上找到原因。我们把这个复积分看成是微分形式$\frac{dz}{w}$在2次代数曲线$S：w^{2}=z^{2}+az+b$上的积分，容易证明此时$S$有理同构于射影直线$CP^{1}$(原因是$CP^{1}$拓扑同胚于亏格为0的球面)。然而我们知道射影直线是可以参数化的，即如果设$t=t(z,w)$是$CP^{1}$上的参数坐标，则由于此时$z$和$w$都是$t$的有理函数，$\frac{dz}{w}$必然为$CP^{1}$上的有理函数微分形式$R(t)dt$，其中的$R(t)$是有理函数。现在对代数曲线$S$上的两点$(z_{0},w_{0})$和$(z,w)$，有积分等式 $$\int_{(z_{0},w_{0})}^{(z,w)}\frac{dz}{w}=\int_{t(z_{0},w_{0})}^{t(z,w)}R(t)dt,$$ 而上式右边是一个对于有理函数的积分，它是可以积得出来的。 但是另一方面，对于椭圆积分 $$\int \frac{dz}{\sqrt{z(z-\alpha)(z-\beta)}}（\alpha 与\beta 是不相等的非零常数）$$ 来说，事情就不是这样了。这个积分同样看成是$\frac{dz}{w}$在3次代数曲线$w^{2}=z(z-\alpha)(z-\beta)$上的积分，然而由于此时与这条3次代数曲线相对应的黎曼曲面的亏格为1，所以就能够证明不可能有像上面那样的用有理函数来表示的参数化，因此这个积分就不可能积出来了。事实上，只要黎曼曲面的亏格大于0，相关的代数曲线都不可能用有理函数来进行参数化。 后来的数学家们又进一步形成了“椭圆曲线”（elliptic curve）的基本概念，注意这里的“椭圆曲线”不是平面解析几何中的椭圆，而是指一般数域上亏格为1的代数曲线。（18）式中的椭圆积分的性质就与由这个积分的被积函数分母根号中的3次多项式$p(t)$所确定的“椭圆曲线” $$y^{2}=p(t)$$ 的性质密切相关，例如椭圆积分的加法公式实际上就是与该椭圆积分相关的“椭圆曲线”上点的加法定律的一种外在表现，由这个点的加法定律可以自然地为每一条“椭圆曲线”都定义一个交换群，而这个群正是现代数论和代数几何的重点研究对象，从中产生了大量的研究成果。例如在著名的费马大定理的证明中，“椭圆曲线”就是一个最基本的工具，这是非常出乎人们意料之外的。 ### 参考文献 [1] 斯皮瓦克. 微积分(下册)[M]. 北京：高等教育出版社，1981 . [2] J. Stillwell . 数学及其历史[M] . 北京：高等教育出版社，2011 .