本文原载于数学公众号“小朱的读书笔记”，原文链接为：[《泛函分析》的基础定理及相关书籍推荐](https://mp.weixin.qq.com/s/gr2RKykPGU3-f8waXsNXLw "《泛函分析》的基础定理及相关书籍推荐")。作者：`朱善军`。 ----- > 入门(小白)级别:程其襄主编《实变函数与泛函分析基础》 由程其襄、张奠宙等五位数学系老先生编写的《实变函数与泛函分析基础》是一本不可多得的经典教材，也是笔者读大学三年级时主讲老师的授课教材。当时，笔者还是用的第三版（黄色封皮，见图1），现如今就有了第四版(绿色封皮，见图2)。遗憾的是，笔者还未有足够多的时间去对比第四版和第三版的不同之处，不过我想差别应该不会太大。   这本书的一大特点是:将实变函数和泛函分析放在一起进行讲授，有利于读者方便查阅泛函分析中所使用到的实变函数基础知识。国内不会有哪个数学系会傻到先上泛函分析，再上实变函数的，毕竟这有悖于数学课程教学的循序渐进原则。 以第三版教材为例，笔者将第二篇“泛函分析”的章节目录梳理一下: - 第七章 度量空间和赋范线性空间； - 第八章 有界线性算子和连续线性泛函； - 第九章 内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间； - 第十章 巴拿赫空间中的基本定理； - 第十一章 线性算子的谱。 >进阶级别:张恭庆和林源渠《泛函分析讲义》，童裕孙《泛函分析教程》 北大张恭庆院士主编的这本书分为上、下两册，笔者考虑到自身研究方向的缘故只买了上册。正如张恭庆院士所说，本书是为了本科生初学泛函而写的，而其续编则是为了研究生而写的基础课教材。上册先是涉及到度量空间、线性算子与线性泛函的基础知识，随后还介绍了广义函数与紧算子等理论。细读这本书就会发现，该书的一大优点是:善于举出典型例子说明泛函分析相关定理的重要性。比如在“纲与开映像定理”一节中，张恭庆院士举了两个典型例子:Lax-Milagram定理和Lax等价定理，借此二例是为了说明几大泛函分析定理的应用所在。特别是，Lax-Milagram定理在偏微分方程中很有应用前景，而Lax等价定理则是数值分析中的基本定理。  复旦童裕孙教授的这本《泛函分析教程》是笔者去年读研究生一年级上学期用的教材，只可惜这本书很难在网上买到了（也有可能是笔者信息有误）。如作者所言，该书是一本研究生泛函分析教材，非常适合攻读数学系硕士的研究生学习泛函分析之用。全书的章节目录是: - 第一章 线性泛函分析基础 - 第二章 谱论I：Banach空间上的紧算子及Fredholm算子; - 第三章 谱论II：Hilbert空间上的正规算子; - 第四章 无界算子； - 第五章 算子半群； - 第六章 无穷维空间的微分学； - 第七章 拓扑度。 这本书虽然只有300页左右，但是要想真正学习完掌握透还是需要花费不少时间的。笔者去年上泛函分析课时，授课老师也只是讲完前两章，而仅仅是这两章内容就已经够我们消化得了。  童裕孙教授的这本书一大特点是引入拓扑线性空间，因此对一般的读者来说要想学习这本书最好是先学习了拓扑学的基础知识。其次，这本书在处理一些定理证明时更加简洁，深受我们授课老师的喜爱（上课时啧啧赞叹hhh）。 > 大佬级别：Yosida著《Functional Analysis》,Stein著《Functional Analysis》 日本数学家Yosida(吉田耕作)的这本泛函分析书可以称得上是一部专著，很适合数学系研究生查阅使用。该书已经被国内数学工作者翻译成中文版本，在网上可以轻易找到电子版。从中文版译作来看，本书虽然篇幅只有420多页，但是其涉及到的数学面是非常宽广的，因此在阅读时需要审慎选择阅读材料。倘若读者能够全部读完并且融会贯通，那么可以称得上泛函分析领域里的一位大佬级别人物了。 这本书的一大特点是:将泛函分析所需要的预备知识作为第0章讲述。其实这样的处理方式，恰恰说明此书所阐述的知识是自封闭的，换句话说不需要额外查找其他参考资料即可学习该书。但是，这本书的难点在于语言上不易让读者读懂，有些记号对于初学者来说不是太友好。该书可作参考资料，但是不建议作为本科生或者研究生的学习教材。  著名分析学家Stein（斯坦恩）教授曾写过分析四册(《傅里叶分析导论》、《实分析》、《复分析》、《泛函分析》)，这四本书可以称得上数学界家喻户晓的经典分析书。关于这四本书籍，国内已有人做过翻译工作，但是其翻译出来的效果实在是差强人意，特别是《复分析》一书中有个明显的翻译错误(第24页中间)： `Liouville定理:利用代数学的基本定理很容易证明；` 熟悉复变函数课程的同学，自然知道刘维尔定理可以证明代数学基本定理，但是反过来却不正确。此外，代数学基本定理也可以用鲁歇定理加以证明，相关证明可以参考钟玉泉教授的《复变函数论》教材。  因此，建议大家阅读Stein教授的书籍时，最好阅读英文版原著，比如笔者自己就买了英文版的《Functional Analysis》几乎处处啃。 国内外还有很多讲解泛函分析理论的好书没有推荐，鉴于笔者读书慢+水平有限，暂且介绍到这里吧！